Los números reales como objeto matemático: Una perspectiva histórico epistemológica

Capítulo 1

OBJETIVIDAD MATEMÁTICA, HISTORIA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Apostol, T. (1972). Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (Vol. I). Barcelona, Buenos Aires, México: Editorial Reverté.

Arboleda, L.C. (1984). Historia y enseñanza de las matemáticas. Quipu. Revista Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología, 1 (2), 194-167.

Arboleda, L. C. (2007). Modalidades constructivas y objetivación del cuerpo de los reales. Revista Brasileira de História da Matemática. Especial No. 1 - Festschrift Ubiratan D'Ambrosio; pp. 215-230.

Arboleda, L.C. (2010). Los tratados franceses en la enseñanza del análisis en Colombia (1851-1951). En: Matos, J. M. y Rodrigues Valente, W. (eds.) (2010). A reforma da Matemática Moderna em contextos ibero-americanos. UIED, Coleção Educação e Desenvolvimento. Lisboa. http://run.unl.pt/bitstream/10362/5321/1/Matos_2010.pdf

Baillaud, B. y Bourget, H. (ed.) (1905). Correspondance d'Hermite et de Stieltjes. 2 vols., GauthiersVillars, Paris.

Bernays, P. (1935). Hilbert's investigations of the foundations of arithmetic. Bernays Proyect, text 114. Disponible en www.phil.cmu.edu/projects/bernays/Pdf/bernays14_2003-05-08.pdf.

Bkouche, R. (1997). Epistémologie, histoire et enseignement des mathématiques. For the learning of mathematics, vol. 17, No. 1. february, 1997.

Cassou-Noguès, P. (2001). De la expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de Jean Cavaillès. Paris: Vrin.

Dedekind, R. (1998) ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza. Primera versión en alemán, 1888.

Desanti, J. (1968). Les Idéalités Mathématiques. Paris: Seuil.

https://doi.org/10.3406/raipr.1969.1283

Gardies, J. (2004). Du mode d'existence des objets de la mathématique. Paris: Vrin.

Giusti, E. (2000). La naissance des objets Mathématiques. Ellipses, Paris. Hermite, Ch. (1984). Lettres à Gösta Mittag-Leffler, publiées et annotées par P. Dugac, Cahiers du Séminaire d'Histoire des Mathematiques, 5:49-285.

Klein, F. (1974). Le programme d'Erlangen; considérations comparatives sur les recherches géométriques modernes. Préf. de Jean Dieudonné. Postface du P. François Russo. Gauthier-Villars, Paris.

Le Lionnais, F. (ed.) (1948). Les grands courants de la pensée mathématique. Paris, Cahiers du Sud.

Otte, M. (2007). Mathematical history, philosophy and education, Educational Studies on Mathematics, 66:243-255.

https://doi.org/10.1007/s10649-007-9079-z

Panza, M. (2007). Nombres: éléments de mathématiques pour philosophes. Lyon: Cahiers d'Histoire et de Philosophie des Sciences. ENS Éditions.

Rivenc, F. et De Rouilhan, P. (ed.) (1992). Logique et fondements des mathématiques. Anthologie (1850-1914). Paris: Payot,.

Schwartz, L. (1997). Un mathématicien aux prises avec le siècle. Paris: Editions Odile Jacob.

Thurston, W. (1990). Mathematical education. Notices of the American Mathematical Society, 37, 844-850.

Capítulo 2

MEDIDA, NÚMERO Y MAGNITUD EN LA ANTIGÜEDAD GRIEGA

Bernabé, A. (1996). Filósofos presocráticos. Barcelona: Atalaya.

Aristóteles (1994, 1967). Metafísica. Madrid: Gredos.

Aristóteles (1977). Obras completas. Madrid: Aguilar.

Aristóteles (1995). Física. Madrid: Gredos.

Betancourt, W. C. (1992). Del logos al eidos. Santiago de Cali: Universidad del Valle.

Caveing, M. (1998). Irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à euclide. Paris: Universitaires du septentrion.

Cherniss, H. (1991). La crítica aristotélica a la filosofía presocrática. Espacio, movimiento, peso y tiempo. México: UNAM.

Dedekind, R. (1998) ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza.

Dhombres, J. N. (1980). Mesure et continu épistémologie et histoire. Paris: CEDIC/ Fernand Nathan.

Euclides (1991). Elementos. Madrid: Editorial Gredos.

Heath, T. (1956). The thirteen books of the Elements. New York: Dover publications.

Morey, M. (1984). Los presocráticos. Del mito al logos. Barcelona: Montesinos.

Serres, M. (1991). Historia de la ciencia. Madrid: Ediciones Cátedra.

Serres, M. (1996). Los orígenes de la geometría. México, D.F.: Siglo Veintiuno.

Capítulo 3

TEORÍA DE ECUACIONES Y CONCEPTO DE NÚMERO.

LOS CASOS DEL ÁLGEBRA ÁRABE Y DEL RENACIMIENTO

Acevedo, M. y Falk, M. (1997). Recorriendo el álgebra. De la solución de ecuaciones al álgebra abstracta. Santafé de Bogotá. Editorial Universidad Nacional.

Bergé, A. Sessa, C. (2003). Completitud y continuidad revisadas a través de 23 siglos. Aportes a una investigación didáctica. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Vol. 6, Núm. 3, pp. 163 -197. Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. México, DF.

Cardano, G. (1993). Ars Magna or The Rules of Algebra. Translated and Edited by T. Richard Witmer. New York, Dover Publications, Inc.

Charbonneau, L. (1996). From Euclides to Descartes: Algebra and its relation to geometry. En: Approaches to Algebra. Printed in Netherlands, Bednarz et al. (eds). Kluwer Academics Publisher. pp. 15-38.

https://doi.org/10.1007/978-94-009-1732-3_2

Puig, L. (1998). Componentes de una historia del álgebra. El texto de al- Khwarizmi restaurado. Investigaciones en matemática educativa II. Universitat de Valencia. Detartament de Didáctica de la Matemática. pp. 109-131. Ed. Hitt, F., Grupo Editorial Iberoamérica.

Puig, L. (1997). Análisis fenomenológico. En: Rico, ed. La Educación Matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: ICE/Horsori.

Rashed, R. (1984). L'idée de l'algèbre chez al-Kwārizmī. En: Entre Arithmétique et algèbre. Recherches sur L'Histoire des Mathématiques arabes. Chapitre I: Les commencements de l'algèbre. Société d'édition. Les Belles Lettres. Paris.

Rosen, F. (1986). The algebra of Mohammed Ben Musa. London. Oriental Translation Fund.

Vasco, C. E. (1983). El álgebra renacentista. 2ª Edición. Santafé de Bogotá, Empresa Editorial Universidad Nacional.

Capítulo 4

EL PAPEL DE LA TÉCNICA ALGEBRAICA CARTESIANA

EN LOS PROCESOS DE OBJETIVACIÓN DE LOS REALES

Álvarez, C. (2000). "Descartes, lector de Euclides". En Álvarez y Guzmán (Eds.) Descartes y la ciencia del siglo XVII. México: Siglo XXI.

Apolonio, P. (2000). Conics. Book I-III. (R. Catesby Taliafero, Trad., ed. rev.). Santa Fe, New México.

Bolea, P. (2003). Los procesos de algebrización de las Organizaciones Matemáticas Escolares. Tesis Doctoral, Universidad de Zaragoza; Zaragoza, España.

Descartes, R. (1947). La Geometría. Buenos Aires, Argentina.

Descartes, R. (2003). Reglas para la dirección del espíritu. Madrid, España: Editorial Alianza. Traducción de Juan Manuel Navarro Cordón.

Descartes, R. (2006). Discurso del método. Buenos Aires, Argentina: Editorial Porrúa.

Dhombres, J. (1978). Nombre, mesure et continu. Ápistemologie et historie. Paris: Cedic/Fernand Nathan.

Dhombres, J. (2000). La banalidad del referencial cartesiano. Descartes y la ciencia del siglo XVII. México: Siglo XXI.

Gardies, J. L. (2001a). Qu'est-ce que et pourquoi l'analyse? . París, Francia: Librería filosófica J. Vrin.

Gardies, J. (2001b). La thématisation en mathématiques. París: Librería filosófica J. Vrin.

Giusti, E. (2000). l'Esprit des sciences. La naissance des objets mathématiques. París, Francia: Ellipses Edition 2000.

Panza, M. (1996 ). "The unity of question of analysis and synthesis in mathematics. Classical sources for the concepts of analysis and synthesis". En M. Otte y M. Panza (Eds.). Analysis and synthesis in mathematics. Londres, U. K.

Panza, M. (2006). What is new and what is old in Viête's analysis restituta and algebra nova, and where do they come from? Some reflections on the relations between algebra and analysis before Viête. En prensa.

Capítulo 5

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES COMO OBJETO

MATEMÁTICO: LA "CONSTRUCCIÓN" DE DEDEKIND

Aristóteles (1973). Obras completas. Madrid: Aguilar.

Aristóteles (1998). Física. Madrid: Planeta DeAgostini.

Aristóteles (1999). Metafísica. Madrid: Planeta DeAgostini.

Belna, J. P. (1996). La notion de nombre chez Dedekind. París: París: J. Vrin. Librairie Philosophique.

Bolzano, B. (1991). Las paradojas del infinito. México, D.F.: Servicios de la Facultad de Ciencias, UNAM.

Boniface, J. (2002). Les Constructions des Nombres Réeles dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse. París: Ellipses.

Cauchy, A. L. (1994). Curso de análisis. México, D.F.: Servicios de la Facultad de Ciencias, UNAM.

Cavaillès, J. (1962). Philosophie Mathématique. París: Hermann.

Caveing, M. (1998). L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'a Euclide. París: Presses Universitaires du Septentrión.

Dedekind, R. (1998). ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza.

Euclides (1991). Elementos (Libros I-VI). Madrid: Gredos.

Gálvez, F. (2000). El infinito en Aristóteles: Un estudio desde el libro III de la Física. Cali: Monografía, Universidad del Valle.

Gardies, J. L. (2004). Du mode d'existence des objets de la mathématique. París: Librería filosófica J. Vrin.

Heath, T. (1956). Euclid. The thirteen books of the Elements (Books III-IX). New York: Dover Publications.

Lakatos, I. (1978). Matemáticas, Ciencia y Epistemología. Madrid: Alianza.

Panza, M. (2002). Continuidad local aristotélica y geometría de Euclides: la construcción de un ángulo recto. En: Álvarez, C. y Barahona, A. (Comps.) La continuidad en las ciencias. Mexico, D. F.: UNAM y Fondo de Cultura Económica, pp. 37-120.

Panza, M. (1992). De la continuité comme concept au continu comme objet. En J.M. Salanskis y H. Sinaceur (comps.), Le labyrinthe du continu. Paris: Springer-Verlag, pp. 16-30.

Capítulo 6

LA NOCIÓN DE VECINDAD EN LA APROPIACIÓN DE LOS REALES

Apostol, T. (1960). Análisis matemático. Introducción moderna al cálculo superior. Barcelona: Editorial Reverté.

Arboleda, L. (1980). Las primeras investigaciones sobre los espacios topológicos. X Coloquio Colombiano de Matemáticas. Sociedad Colombiana de Matemáticas. Paipa.

Arboleda, L., y Recalde, L. (1999). Matemática y experiencia: La generalización de la noción de espacio abstracto en Maurice Fréchet. Informe final proyecto de investigación. Universidad del Valle, Cali.

Bergé, A. (2008). The completeness property of the set of real numbers in the transition from calculus to analysis. Educational Studies in Mathematics. Vol. 67, No. 3. pp. 217-235.

https://doi.org/10.1007/s10649-007-9101-5

Bourbaki, N. (1965). Topologie générale. Éléments de Mathématique. Livre III. Hermann. Paris.

Cantor, G. (1872). Extension d'un théorème de la théorie des series trigonométriques. Traduction d'un mém. Publ. de. l. annales math. De Leipsic t. V. p. 123. Acta mathematica 2, 1883, pp. 336-348.

https://doi.org/10.1007/BF02612168

Cantor, G. (1883). Fondements d'une théorie générale des ensembles. Extrait d'un article des annales mathématiques de Leipsic, t. XXI, p. 545.

Casper, G. (1974). Completeness of the Real Numbers. Mathematics Magazine, Vol. 47, No. 1, pp. 1-8.

https://doi.org/10.1080/0025570X.1974.11976344

Cauchy, A. L. (1994). Curso de análisis. Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, UNAM, México, D.F. (Selección, traducción directa del francés y notas de Carlos Álvarez Jiménez, introducción de Jean Dhombres).

Dedekind, R. (1998). ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza Editorial (Traducción e introducción de José Ferreirós).

Dixmier, J. (1967). Cours de mathématiques du premier cycle. París: Gauthier- Villars.

Dugac, P. (1996). Jean Dieudonné: Mathématicien Complet. París: Editions Jacques Gabay.

Hrbacek, K. and Jech, T. (1999). Introduction to Set Theory. Third Edition, revised and expanded. New York: Marcel Dekker, Inc.

Kline, M. (1972). El pensamiento matemático de la antigüedad hasta nuestros días, III. Madrid: Alianza editorial.

Nadler, S. (2002). La definición de una topología. Ciudad de México: Publicaciones del Departamento de Matemáticas de la UNAM. Serie Vínculos Matemáticos No. 14

Rubiano, G. (2002). Topología general. Universidad Nacional de Colombia. 2ª edición. Bogotá: Panamericana S. A.

Spivak, M. (1970). Cálculo infinitesimal. Barcelona: Editorial Reverté.

Capítulo 7

LA CARACTERIZACIÓN CONJUNTISTA DE LOS NÚMEROS REALES:

DEL DOMINIO DE LAS MAGNITUDES AL DOMINIO DE LOS CONJUNTOS

Apostol, T. (1986). Análisis matemático. Barcelona: Reverté.

Baire, R. (1905). Lecons sur les fonctions discontinues. Paris: Gauthier-Villars.

Baire, R., Borel, E., et al. (1905). Cinq lettres sur la théorie des ensembles. Bulletin de la Société Mathématique de France, (33), pp. 261-273.

https://doi.org/10.24033/bsmf.761

Bolzano, B. (1981). Las paradojas del infinito. México: Colección Mathema UNAM. Primera edición en alemán, 1851.

Borel, E. (1928). Leçons sur la théorie des fonctions. Paris: Gauthier-Villars.

Boyer, C. (1987). Historia de la matemática. Madrid: Alianza.

Cantor, G. (1955). Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. New York: Dover Publications. Primera edición en alemán, 1955.

Cauchy, A. L. (1994). Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. México: Colección Mathema UNAM. Primera edición en francés, 1821.

Cavaillès, J. (1992). Méthode axiomatique et formalisme. México: Colección Mathema UNAM. Primera versión en francés, 1938.

Dauben, J. (1979). Georg Cantor, His mathematics and Philosophy on the infinite. Cambridge: Harvard University Press.

Dedekind, R. (1998). ¿Qué son y para qué sirven los números? Madrid: Alianza. Primera versión en alemán, 1888.

Gispert, H. (1991). La France mathématique. La société mathématique de France (1871-1914). Paris: Cahiers d'histoire et de philosophie des sciences.

Grattan-Guinness (1982). Del cálculo a la teoría de conjuntos. 1630-1910. Madrid: Alianza.

Hawkins, T. (1979). Lebesgue'theory of integration. New York: Chelsea Publishing Company.

Jech, T. (2003). Set theory. The third millennium. New York: Springer-Verlag.

Hrbacek, K. y Jech, T. (1999). Introduction to set theory. New York: Marcel Dekker, Inc.

Kline, M. (1994). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Madrid: Alianza.

Lebesgue, H. (1904). Lecons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars.

Lebesgue, H. (1905). Sur les functions représentables analytiquement. J. de Math. Pures et Appl., 6, 1, pp. 139-216.

Lusin, N. (1972). Les ensembles analytiques et leurs applications. New York:

Chelsea Publishing Company. Primera edición, 1930.

Moore, G. (1982). Zermelo's Axiom of Choice. New York: Springer-Verlag.

https://doi.org/10.1007/978-1-4613-9478-5

Recalde, L. (2010). La teoría de funciones de Baire: La constitución de lo discontinuo como objeto matemático. Cali: Universidad del Valle.

Zermelo, E. (1904). Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Math. Ann., 59, pp. 514-516. En: van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, pp. 139-141.

https://doi.org/10.1007/BF01445300

Zermelo, E. (1908). Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. En: van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press, pp. 183-198.